แก้โจทย์ {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4,6

$$4x+3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,3,15

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 3x+20y

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย 8y+1

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

รวม 60y และ -40y เพื่อให้ได้รับ 20y

$$9x+20y-5=12x+16y$$

ลบ 12x จากทั้งสองด้าน

$$9x+20y-5-12x=16y$$

รวม 9x และ -12x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-3x+20y-5=16y$$

ลบ 16y จากทั้งสองด้าน

$$-3x+20y-5-16y=0$$

รวม 20y และ -16y เพื่อให้ได้รับ 4y

$$-3x+4y-5=0$$

เพิ่ม 5 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$-3x+4y=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+3y=10$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-3y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -3y+10

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

ทดแทน -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+4y=5

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

คูณ -3 ด้วย -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

เพิ่ม \frac{9y}{4} ไปยัง 4y

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

เพิ่ม \frac{15}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{25}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

คูณ -\frac{3}{4} ด้วย 2

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยัง -\frac{3}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4,6

$$4x+3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,3,15

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 3x+20y

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย 8y+1

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

รวม 60y และ -40y เพื่อให้ได้รับ 20y

$$9x+20y-5=12x+16y$$

ลบ 12x จากทั้งสองด้าน

$$9x+20y-5-12x=16y$$

รวม 9x และ -12x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-3x+20y-5=16y$$

ลบ 16y จากทั้งสองด้าน

$$-3x+20y-5-16y=0$$

รวม 20y และ -16y เพื่อให้ได้รับ 4y

$$-3x+4y-5=0$$

เพิ่ม 5 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$-3x+4y=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4,6

$$4x+3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,3,15

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 3x+20y

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -5 ด้วย 8y+1

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

รวม 60y และ -40y เพื่อให้ได้รับ 20y

$$9x+20y-5=12x+16y$$

ลบ 12x จากทั้งสองด้าน

$$9x+20y-5-12x=16y$$

รวม 9x และ -12x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-3x+20y-5=16y$$

ลบ 16y จากทั้งสองด้าน

$$-3x+20y-5-16y=0$$

รวม 20y และ -16y เพื่อให้ได้รับ 4y

$$-3x+4y-5=0$$

เพิ่ม 5 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$-3x+4y=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

เพื่อทำให้ 4x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

ลบ -12x+16y=20 จาก -12x-9y=-30 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

เพิ่ม -12x ไปยัง 12x ตัดพจน์ -12x และ 12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9y-16y=-30-20$$

เพิ่ม -9y ไปยัง -16y

$$-25y=-30-20$$

เพิ่ม -30 ไปยัง -20

$$-25y=-50$$

หารทั้งสองข้างด้วย -25

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน -3x+4y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x+4\times 2=5$$

คูณ 4 ด้วย 2

$$-3x+8=5$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=2$$