แก้โจทย์ {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

หาค่า u, v

$$u=25$$

$$v=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ u โดยแยก u ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$u-30v=-65$$

เพิ่ม 30v ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$u=30v-65$$

ทดแทน 30v-65 สำหรับ u ในอีกสมการหนึ่ง -3u+80v=165

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

คูณ -3 ด้วย 30v-65

$$-90v+195+80v=165$$

เพิ่ม -90v ไปยัง 80v

$$-10v+195=165$$

ลบ 195 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-10v=-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$v=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ v ใน u=30v-65 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า u โดยตรงได้

$$u=30\times 3-65$$

คูณ 30 ด้วย 3

$$u=90-65$$

เพิ่ม -65 ไปยัง 90

$$u=25$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$u=25,v=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ u และ v

$$u=25,v=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

เพื่อทำให้ u และ -3u เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

ลบ -3u+80v=165 จาก -3u+90v=195 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

เพิ่ม -3u ไปยัง 3u ตัดพจน์ -3u และ 3u ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$90v-80v=195-165$$

เพิ่ม 90v ไปยัง -80v

$$10v=195-165$$

เพิ่ม 195 ไปยัง -165

$$10v=30$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$v=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ v ใน -3u+80v=165 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า u โดยตรงได้

$$-3u+80\times 3=165$$

คูณ 80 ด้วย 3

$$-3u+240=165$$

ลบ 240 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3u=-75$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$u=25$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$u=25,v=3$$