แก้โจทย์ {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า p, q

$$p=2$$

$$q=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ p โดยแยก p ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5p-q=7$$

เพิ่ม q ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5p=q+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย q+7

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

ทดแทน \frac{7+q}{5} สำหรับ p ในอีกสมการหนึ่ง -2p+3q=5

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

คูณ -2 ด้วย \frac{7+q}{5}

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

เพิ่ม -\frac{2q}{5} ไปยัง 3q

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

เพิ่ม \frac{14}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$q=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ q ใน p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า p โดยตรงได้

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 3

$$p=\frac{3+7}{5}$$

เพิ่ม \frac{7}{5} ไปยัง \frac{3}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$p=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$p=2,q=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ p และ q

$$p=2,q=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

เพื่อทำให้ 5p และ -2p เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

ลบ -10p+15q=25 จาก -10p+2q=-14 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

เพิ่ม -10p ไปยัง 10p ตัดพจน์ -10p และ 10p ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2q-15q=-14-25$$

เพิ่ม 2q ไปยัง -15q

$$-13q=-14-25$$

เพิ่ม -14 ไปยัง -25

$$-13q=-39$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$q=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ q ใน -2p+3q=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า p โดยตรงได้

$$-2p+3\times 3=5$$

คูณ 3 ด้วย 3

$$-2p+9=5$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2p=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$p=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$p=2,q=3$$