แก้โจทย์ {r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3x-2y+12y=13$$

รวม -2y และ 12y เพื่อให้ได้รับ 10y

$$3x+10y=13$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2,6

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย -2y+x

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

คูณ -3 และ 3 เพื่อรับ -9

$$-8y+4x-9x=-13$$

รวม 4x และ -9x เพื่อให้ได้รับ -5x

$$-8y-5x=-13$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+10y=13$$

ลบ 10y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-10y+13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -10y+13

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

ทดแทน \frac{-10y+13}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -5x-8y=-13

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

คูณ -5 ด้วย \frac{-10y+13}{3}

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

เพิ่ม \frac{50y}{3} ไปยัง -8y

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

เพิ่ม \frac{65}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{26}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

เพิ่ม \frac{13}{3} ไปยัง -\frac{10}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=1,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3x-2y+12y=13$$

รวม -2y และ 12y เพื่อให้ได้รับ 10y

$$3x+10y=13$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2,6

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย -2y+x

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

คูณ -3 และ 3 เพื่อรับ -9

$$-8y+4x-9x=-13$$

รวม 4x และ -9x เพื่อให้ได้รับ -5x

$$-8y-5x=-13$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3x-2y+12y=13$$

รวม -2y และ 12y เพื่อให้ได้รับ 10y

$$3x+10y=13$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2,6

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

คูณ 2 และ 2 เพื่อรับ 4

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย -2y+x

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

คูณ -3 และ 3 เพื่อรับ -9

$$-8y+4x-9x=-13$$

รวม 4x และ -9x เพื่อให้ได้รับ -5x

$$-8y-5x=-13$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

เพื่อทำให้ 3x และ -5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

ลบ -15x-24y=-39 จาก -15x-50y=-65 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

เพิ่ม -15x ไปยัง 15x ตัดพจน์ -15x และ 15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-50y+24y=-65+39$$

เพิ่ม -50y ไปยัง 24y

$$-26y=-65+39$$

เพิ่ม -65 ไปยัง 39

$$-26y=-26$$

หารทั้งสองข้างด้วย -26

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน -5x-8y=-13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-5x-8=-13$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=1,y=1$$