แก้โจทย์ {l}{y=x-18}{y=1/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 18 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=24$$

$$y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-18$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{1}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-x=-18$$

เพิ่ม x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=x-18$$

ทดแทน x-18 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-\frac{1}{4}x=0

$$x-18-\frac{1}{4}x=0$$

เพิ่ม x ไปยัง -\frac{x}{4}

$$\frac{3}{4}x-18=0$$

เพิ่ม 18 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{4}x=18$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=24$$

ทดแทน 24 สำหรับ x ใน y=x-18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=24-18$$

เพิ่ม -18 ไปยัง 24

$$y=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=6,x=24$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-18$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{1}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\-\frac{4}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\24\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=6,x=24$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-18$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{1}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

ลบ y-\frac{1}{4}x=0 จาก y-x=-18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-x+\frac{1}{4}x=-18$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-x+\frac{1}{4}x=-18$$

เพิ่ม -x ไปยัง \frac{x}{4}

$$-\frac{3}{4}x=-18$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=24$$

ทดแทน 24 สำหรับ x ใน y-\frac{1}{4}x=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-\frac{1}{4}\times 24=0$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย 24

$$y-6=0$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=6,x=24$$