แก้โจทย์ {l}{y=9-2x}{3x+2y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 9 - 2 x } \\ { 3 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+2x=9$$

ลบ 2x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-2x+9$$

ทดแทน -2x+9 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 2y+3x=16

$$2\left(-2x+9\right)+3x=16$$

คูณ 2 ด้วย -2x+9

$$-4x+18+3x=16$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 3x

$$-x+18=16$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน y=-2x+9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-2\times 2+9$$

คูณ -2 ด้วย 2

$$y=-4+9$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -4

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=9$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 9+2\times 16\\2\times 9-16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=5,x=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=9$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

เพื่อทำให้ y และ 2y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2y+2\times 2x=2\times 9,2y+3x=16$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2y+4x=18,2y+3x=16$$

ลบ 2y+3x=16 จาก 2y+4x=18 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2y-2y+4x-3x=18-16$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -2y ตัดพจน์ 2y และ -2y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4x-3x=18-16$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -3x

$$x=18-16$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -16

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน 2y+3x=16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$2y+3\times 2=16$$

คูณ 3 ด้วย 2

$$2y+6=16$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=2$$