แก้โจทย์ {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-4x=5$$

เพิ่ม 4x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=4x+5$$

ทดแทน 4x+5 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง -3y+4x=3

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

คูณ -3 ด้วย 4x+5

$$-12x-15+4x=3$$

เพิ่ม -12x ไปยัง 4x

$$-8x-15=3$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=-\frac{9}{4}$$

ทดแทน -\frac{9}{4} สำหรับ x ใน y=4x+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{9}{4}

$$y=-9+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -9

$$y=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

เพื่อทำให้ y และ -3y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

ลบ -3y+4x=3 จาก -3y+12x=-15 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 3y ตัดพจน์ -3y และ 3y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12x-4x=-15-3$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -4x

$$8x=-15-3$$

เพิ่ม -15 ไปยัง -3

$$8x=-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=-\frac{9}{4}$$

ทดแทน -\frac{9}{4} สำหรับ x ใน -3y+4x=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{9}{4}

$$-3y-9=3$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3y=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$