แก้โจทย์ {l}{y=3x-5}{y=x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 5 } \\ { y = x + 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=4$$

$$y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-3x=-5,y-x=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-3x=-5$$

เพิ่ม 3x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=3x-5$$

ทดแทน 3x-5 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-x=3

$$3x-5-x=3$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -x

$$2x-5=3$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน y=3x-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=3\times 4-5$$

คูณ 3 ด้วย 4

$$y=12-5$$

เพิ่ม -5 ไปยัง 12

$$y=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=7,x=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-3x=-5,y-x=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{3}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=7,x=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-3x=-5,y-x=3$$

ลบ y-x=3 จาก y-3x=-5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-3x+x=-5-3$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3x+x=-5-3$$

เพิ่ม -3x ไปยัง x

$$-2x=-5-3$$

เพิ่ม -5 ไปยัง -3

$$-2x=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน y-x=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-4=3$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=7,x=4$$