แก้โจทย์ {l}{y=3x-2}{5x+4y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { 5 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-3x=-2$$

เพิ่ม 3x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=3x-2$$

ทดแทน 3x-2 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 4y+5x=9

$$4\left(3x-2\right)+5x=9$$

คูณ 4 ด้วย 3x-2

$$12x-8+5x=9$$

เพิ่ม 12x ไปยัง 5x

$$17x-8=9$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$17x=17$$

หารทั้งสองข้างด้วย 17

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y=3x-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=3-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง 3

$$y=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=1,x=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-2\right)+\frac{3}{17}\times 9\\-\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=1,x=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

เพื่อทำให้ y และ 4y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$4y+4\left(-3\right)x=4\left(-2\right),4y+5x=9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4y-12x=-8,4y+5x=9$$

ลบ 4y+5x=9 จาก 4y-12x=-8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4y-4y-12x-5x=-8-9$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -4y ตัดพจน์ 4y และ -4y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12x-5x=-8-9$$

เพิ่ม -12x ไปยัง -5x

$$-17x=-8-9$$

เพิ่ม -8 ไปยัง -9

$$-17x=-17$$

หารทั้งสองข้างด้วย -17

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน 4y+5x=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$4y+5=9$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4y=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=1,x=1$$