แก้โจทย์ {l}{y=2x+1}{5y-7x=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { 5 y - 7 x = 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-2x=1$$

เพิ่ม 2x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=2x+1$$

ทดแทน 2x+1 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 5y-7x=11

$$5\left(2x+1\right)-7x=11$$

คูณ 5 ด้วย 2x+1

$$10x+5-7x=11$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -7x

$$3x+5=11$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน y=2x+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=2\times 2+1$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$y=4+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 4

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{-7-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{-7-\left(-2\times 5\right)}&\frac{1}{-7-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}+\frac{2}{3}\times 11\\-\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=5,x=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

เพื่อทำให้ y และ 5y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$5y+5\left(-2\right)x=5,5y-7x=11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5y-10x=5,5y-7x=11$$

ลบ 5y-7x=11 จาก 5y-10x=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5y-5y-10x+7x=5-11$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -5y ตัดพจน์ 5y และ -5y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-10x+7x=5-11$$

เพิ่ม -10x ไปยัง 7x

$$-3x=5-11$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -11

$$-3x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน 5y-7x=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$5y-7\times 2=11$$

คูณ -7 ด้วย 2

$$5y-14=11$$

เพิ่ม 14 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=25$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=5,x=2$$