แก้โจทย์ {l}{y=-5x+6}{y=3x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 6 } \\ { y = 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$y+5x=6$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+5x=6,y-3x=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+5x=6$$

ลบ 5x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-5x+6$$

ทดแทน -5x+6 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-3x=-2

$$-5x+6-3x=-2$$

เพิ่ม -5x ไปยัง -3x

$$-8x+6=-2$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8x=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y=-5x+6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-5+6$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -5

$$y=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=1,x=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$y+5x=6$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+5x=6,y-3x=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-5}&-\frac{5}{-3-5}\\-\frac{1}{-3-5}&\frac{1}{-3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 6+\frac{5}{8}\left(-2\right)\\\frac{1}{8}\times 6-\frac{1}{8}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=1,x=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$y+5x=6$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+5x=6,y-3x=-2$$

ลบ y-3x=-2 จาก y+5x=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y+5x+3x=6+2$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5x+3x=6+2$$

เพิ่ม 5x ไปยัง 3x

$$8x=6+2$$

เพิ่ม 6 ไปยัง 2

$$8x=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y-3x=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-3=-2$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=1,x=1$$