แก้โจทย์ {l}{y=-2x+1}{y=4x-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=1$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=-5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+2x=1$$

ลบ 2x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-2x+1$$

ทดแทน -2x+1 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-4x=-5

$$-2x+1-4x=-5$$

เพิ่ม -2x ไปยัง -4x

$$-6x+1=-5$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-6x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y=-2x+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-2+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -2

$$y=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-1,x=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=-5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-1,x=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 2x ไปทั้งสองด้าน

$$y+2x=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$y-4x=-5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

ลบ y-4x=-5 จาก y+2x=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y+2x+4x=1+5$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x+4x=1+5$$

เพิ่ม 2x ไปยัง 4x

$$6x=1+5$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 5

$$6x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน y-4x=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-4=-5$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-1,x=1$$