แก้โจทย์ {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ทำเศษส่วน \frac{4}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

ทดแทน -\frac{2x}{3}-5 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 5y+8x=-45

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{2x}{3}-5

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

เพิ่ม -\frac{10x}{3} ไปยัง 8x

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

เพิ่ม 25 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{14}{3}x=-20$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{14}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{30}{7}$$

ทดแทน -\frac{30}{7} สำหรับ x ใน y=-\frac{2}{3}x-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง -\frac{30}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{20}{7}-5$$

เพิ่ม -5 ไปยัง \frac{20}{7}

$$y=-\frac{15}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ทำเศษส่วน \frac{4}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

เพิ่ม \frac{2}{3}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ทำเศษส่วน \frac{4}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

เพิ่ม \frac{2}{3}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

เพื่อทำให้ y และ 5y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

ลบ 5y+8x=-45 จาก 5y+\frac{10}{3}x=-25 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -5y ตัดพจน์ 5y และ -5y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

เพิ่ม \frac{10x}{3} ไปยัง -8x

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

เพิ่ม -25 ไปยัง 45

$$-\frac{14}{3}x=20$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{14}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{30}{7}$$

ทดแทน -\frac{30}{7} สำหรับ x ใน 5y+8x=-45 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

คูณ 8 ด้วย -\frac{30}{7}

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

เพิ่ม \frac{240}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-\frac{75}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-\frac{15}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$