แก้โจทย์ {l}{y=9/4x+53/6}{y=8/5x+20/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 9 } { 4 } x + \frac { 53 } { 6 } } \\ { y = \frac { 8 } { 5 } x + \frac { 20 } { 3 } } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} \approx -3.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{9}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{8}{5}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

เพิ่ม \frac{9x}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}$$

ทดแทน \frac{9x}{4}+\frac{53}{6} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}

$$\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

เพิ่ม \frac{9x}{4} ไปยัง -\frac{8x}{5}

$$\frac{13}{20}x+\frac{53}{6}=\frac{20}{3}$$

ลบ \frac{53}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{20}x=-\frac{13}{6}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{20} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{10}{3}$$

ทดแทน -\frac{10}{3} สำหรับ x ใน y=\frac{9}{4}x+\frac{53}{6} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{9}{4}\left(-\frac{10}{3}\right)+\frac{53}{6}$$

คูณ \frac{9}{4} ครั้ง -\frac{10}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=-\frac{15}{2}+\frac{53}{6}$$

เพิ่ม \frac{53}{6} ไปยัง -\frac{15}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{4}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{9}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{8}{5}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{8}{5}}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}&-\frac{-\frac{9}{4}}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}&\frac{1}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{13}&\frac{45}{13}\\-\frac{20}{13}&\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{13}\times \frac{53}{6}+\frac{45}{13}\times \frac{20}{3}\\-\frac{20}{13}\times \frac{53}{6}+\frac{20}{13}\times \frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{9}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{8}{5}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

ลบ y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3} จาก y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-\frac{9}{4}x+\frac{8}{5}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-\frac{9}{4}x+\frac{8}{5}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

เพิ่ม -\frac{9x}{4} ไปยัง \frac{8x}{5}

$$-\frac{13}{20}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

เพิ่ม \frac{53}{6} ไปยัง -\frac{20}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-\frac{13}{20}x=\frac{13}{6}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{13}{20} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{10}{3}$$

ทดแทน -\frac{10}{3} สำหรับ x ใน y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-\frac{8}{5}\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{20}{3}$$

คูณ -\frac{8}{5} ครั้ง -\frac{10}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y+\frac{16}{3}=\frac{20}{3}$$

ลบ \frac{16}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{4}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$