แก้โจทย์ {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เศษส่วน \frac{-4}{5} สามารถเขียนใหม่เป็น -\frac{4}{5} โดยเอาเครื่องหมายลบออก

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

ทดแทน -\frac{4x}{5}-9 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 3y+8x=-45

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{4x}{5}-9

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

เพิ่ม -\frac{12x}{5} ไปยัง 8x

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

เพิ่ม 27 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{28}{5}x=-18$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{28}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{45}{14}$$

ทดแทน -\frac{45}{14} สำหรับ x ใน y=-\frac{4}{5}x-9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

คูณ -\frac{4}{5} ครั้ง -\frac{45}{14} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{18}{7}-9$$

เพิ่ม -9 ไปยัง \frac{18}{7}

$$y=-\frac{45}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เศษส่วน \frac{-4}{5} สามารถเขียนใหม่เป็น -\frac{4}{5} โดยเอาเครื่องหมายลบออก

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

เพิ่ม \frac{4}{5}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{8x}{3} ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3y+8x=-45$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เศษส่วน \frac{-4}{5} สามารถเขียนใหม่เป็น -\frac{4}{5} โดยเอาเครื่องหมายลบออก

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

เพิ่ม \frac{4}{5}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{8x}{3} ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3y+8x=-45$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

เพื่อทำให้ y และ 3y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

ลบ 3y+8x=-45 จาก 3y+\frac{12}{5}x=-27 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -3y ตัดพจน์ 3y และ -3y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

เพิ่ม \frac{12x}{5} ไปยัง -8x

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

เพิ่ม -27 ไปยัง 45

$$-\frac{28}{5}x=18$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{28}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{45}{14}$$

ทดแทน -\frac{45}{14} สำหรับ x ใน 3y+8x=-45 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

คูณ 8 ด้วย -\frac{45}{14}

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

เพิ่ม \frac{180}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=-\frac{135}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=-\frac{45}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$