แก้โจทย์ {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร x_{1} ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย x_{1}

$$x_{2}=2x_{1}$$

ลบ 2x_{1} จากทั้งสองด้าน

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x_{1} โดยแยก x_{1} ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x_{1}+x_{2}=97$$

ลบ x_{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

ทดแทน -x_{2}+97 สำหรับ x_{1} ในอีกสมการหนึ่ง -2x_{1}+x_{2}=0

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

คูณ -2 ด้วย -x_{2}+97

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

เพิ่ม 2x_{2} ไปยัง x_{2}

$$3x_{2}-194=0$$

เพิ่ม 194 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x_{2}=194$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

ทดแทน \frac{194}{3} สำหรับ x_{2} ใน x_{1}=-x_{2}+97 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x_{1} โดยตรงได้

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

เพิ่ม 97 ไปยัง -\frac{194}{3}

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร x_{1} ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย x_{1}

$$x_{2}=2x_{1}$$

ลบ 2x_{1} จากทั้งสองด้าน

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x_{1} และ x_{2}

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร x_{1} ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย x_{1}

$$x_{2}=2x_{1}$$

ลบ 2x_{1} จากทั้งสองด้าน

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

ลบ -2x_{1}+x_{2}=0 จาก x_{1}+x_{2}=97 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

เพิ่ม x_{2} ไปยัง -x_{2} ตัดพจน์ x_{2} และ -x_{2} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

เพิ่ม x_{1} ไปยัง 2x_{1}

$$3x_{1}=97$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

ทดแทน \frac{97}{3} สำหรับ x_{1} ใน -2x_{1}+x_{2}=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x_{2} โดยตรงได้

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

คูณ -2 ด้วย \frac{97}{3}

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

เพิ่ม \frac{194}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$