แก้โจทย์ {l}{x-y=2x}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 x } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=16$$

$$y=-16$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$x-y-2x=0$$

รวม x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x-y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-x-y=0,2x+y=16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x-y=0$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=y$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-y$$

ทดแทน -y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=16

$$2\left(-1\right)y+y=16$$

คูณ 2 ด้วย -y

$$-2y+y=16$$

เพิ่ม -2y ไปยัง y

$$-y=16$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-16$$

ทดแทน -16 สำหรับ y ใน x=-y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(-16\right)$$

คูณ -1 ด้วย -16

$$x=16$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=16,y=-16$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$x-y-2x=0$$

รวม x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x-y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-x-y=0,2x+y=16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-16\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=16,y=-16$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$x-y-2x=0$$

รวม x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x-y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-x-y=0,2x+y=16$$

เพื่อทำให้ -x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -1

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=0,-2x-y=-16$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x-2y=0,-2x-y=-16$$

ลบ -2x-y=-16 จาก -2x-2y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x-2y+y=16$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y+y=16$$

เพิ่ม -2y ไปยัง y

$$-y=16$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-16$$

ทดแทน -16 สำหรับ y ใน 2x+y=16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-16=16$$

เพิ่ม 16 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=32$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=16$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=16,y=-16$$