แก้โจทย์ {l}{x-y=2}{4x=7y+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 4 x = 7 y + 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$4x-7y=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-y=2,4x-7y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-y=2$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=y+2$$

ทดแทน y+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-7y=5

$$4\left(y+2\right)-7y=5$$

คูณ 4 ด้วย y+2

$$4y+8-7y=5$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -7y

$$-3y+8=5$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3y=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=1+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 1

$$x=3$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=3,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$4x-7y=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-y=2,4x-7y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-7-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-7-\left(-4\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\\\frac{4}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$4x-7y=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-y=2,4x-7y=5$$

เพื่อทำให้ x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 2,4x-7y=5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4x-4y=8,4x-7y=5$$

ลบ 4x-7y=5 จาก 4x-4y=8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x-4y+7y=8-5$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y+7y=8-5$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 7y

$$3y=8-5$$

เพิ่ม 8 ไปยัง -5

$$3y=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน 4x-7y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-7=5$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=3$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=3,y=1$$