แก้โจทย์ {l}{x-y=2}{2x=3(y-1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 2 x = 3 ( y - 1 ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=9$$

$$y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y-1

$$2x=3y-3$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=-3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-y=2$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=y+2$$

ทดแทน y+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-3y=-3

$$2\left(y+2\right)-3y=-3$$

คูณ 2 ด้วย y+2

$$2y+4-3y=-3$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -3y

$$-y+4=-3$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ y ใน x=y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=7+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 7

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=7$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y-1

$$2x=3y-3$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=-3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 2-\left(-3\right)\\2\times 2-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=9,y=7$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y-1

$$2x=3y-3$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=-3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2,2x-3y=-3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x-2y=4,2x-3y=-3$$

ลบ 2x-3y=-3 จาก 2x-2y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x-2y+3y=4+3$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y+3y=4+3$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 3y

$$y=4+3$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 3

$$y=7$$

ทดแทน 7 สำหรับ y ใน 2x-3y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-3\times 7=-3$$

คูณ -3 ด้วย 7

$$2x-21=-3$$

เพิ่ม 21 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=7$$