แก้โจทย์ {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-y=10$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=y+10$$

ทดแทน y+10 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+2y+\frac{1}{2}=200

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

คูณ 2 ด้วย y+10

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 2y

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

เพิ่ม 20 ไปยัง \frac{1}{2}

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

ลบ \frac{41}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4y=\frac{359}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=\frac{359}{8}$$

ทดแทน \frac{359}{8} สำหรับ y ใน x=y+10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{359}{8}+10$$

เพิ่ม 10 ไปยัง \frac{359}{8}

$$x=\frac{439}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

ลบ 2x+2y+\frac{1}{2}=200 จาก 2x-2y=20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -2y

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

เพิ่ม 20 ไปยัง -200

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=\frac{359}{8}$$

ทดแทน \frac{359}{8} สำหรับ y ใน 2x+2y+\frac{1}{2}=200 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

คูณ 2 ด้วย \frac{359}{8}

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

เพิ่ม \frac{359}{4} ไปยัง \frac{1}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

ลบ \frac{361}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{439}{4}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{439}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$