แก้โจทย์ {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y^{2} จากทั้งสองด้าน

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

หาค่า x-y=\frac{1}{4} สำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-y=\frac{1}{4}$$

ลบ -y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=y+\frac{1}{4}$$

ทดแทน y+\frac{1}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -y^{2}+3x^{2}=6

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

ยกกำลังสอง y+\frac{1}{4}

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

คูณ 3 ด้วย y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

เพิ่ม -y^{2} ไปยัง 3y^{2}

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1+3\times 1^{2} แทน a, 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 แทน b และ -\frac{93}{16} แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย -1+3\times 1^{2}

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย -\frac{93}{16}

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

เพิ่ม \frac{9}{4} ไปยัง \frac{93}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ \frac{195}{4}

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย -1+3\times 1^{2}

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -\frac{3}{2} ไปยัง \frac{\sqrt{195}}{2}

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

หาร \frac{-3+\sqrt{195}}{2} ด้วย 4

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \frac{\sqrt{195}}{2} จาก -\frac{3}{2}

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

หาร \frac{-3-\sqrt{195}}{2} ด้วย 4

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ y:\frac{-3+\sqrt{195}}{8} และ \frac{-3-\sqrt{195}}{8} ทดแทน \frac{-3+\sqrt{195}}{8} สำหรับ y ในสมการ x=y+\frac{1}{4} เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

แทนค่า \frac{-3-\sqrt{195}}{8} สำหรับ y ในสมการ x=y+\frac{1}{4} และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$