แก้โจทย์ {l}{x-2(3y-1)=-4}{2/3y-(-x-7)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 ( 3 y - 1 ) = - 4 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y - ( - x - 7 ) = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-6$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

คูณ -2 ด้วย 3y-1

$$x-6y+2=-4$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x-6y=-6$$

เพิ่ม 6y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=6y-6$$

ทดแทน -6+6y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1

$$-\left(-\left(6y-6\right)-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

คูณ -1 ด้วย -6+6y

$$-\left(-6y+6-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -7

$$-\left(-6y-1\right)+\frac{2}{3}y=1$$

คูณ -1 ด้วย -6y-1

$$6y+1+\frac{2}{3}y=1$$

เพิ่ม 6y ไปยัง \frac{2y}{3}

$$\frac{20}{3}y+1=1$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{20}{3}y=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{20}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=6y-6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-6,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

ทำสมการแรกให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

คูณ -2 ด้วย 3y-1

$$x-6y+2=-4$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x-6y=-6$$

ทำสมการที่สองให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

คูณ -1 ด้วย -x-7

$$x+7+\frac{2}{3}y=1$$

ลบ 7 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x+\frac{2}{3}y=-6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{9}{10}\\-\frac{3}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{9}{10}\left(-6\right)\\-\frac{3}{20}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-6,y=0$$