แก้โจทย์ {l}{x-1=-3/2(y+2)}{x+y-2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 1 = - \frac { 3 } { 2 } ( y + 2 ) } \\ { x + y - 2 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=10$$

$$y=-8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -\frac{3}{2} ด้วย y+2

$$x-1=-\frac{3}{2}y-3$$

เพิ่ม \frac{3}{2}y ไปทั้งสองด้าน

$$x-1+\frac{3}{2}y=-3$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$x+\frac{3}{2}y=-3+1$$

เพิ่ม -3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ -2

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$x+y=2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+\frac{3}{2}y=-2,x+y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

ลบ \frac{3y}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{3}{2}y-2$$

ทดแทน -\frac{3y}{2}-2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=2

$$-\frac{3}{2}y-2+y=2$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง y

$$-\frac{1}{2}y-2=2$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{2}y=4$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=-8$$

ทดแทน -8 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\left(-8\right)-2$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย -8

$$x=12-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง 12

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=-8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -\frac{3}{2} ด้วย y+2

$$x-1=-\frac{3}{2}y-3$$

เพิ่ม \frac{3}{2}y ไปทั้งสองด้าน

$$x-1+\frac{3}{2}y=-3$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$x+\frac{3}{2}y=-3+1$$

เพิ่ม -3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ -2

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$x+y=2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+\frac{3}{2}y=-2,x+y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{1-\frac{3}{2}}&\frac{1}{1-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+3\times 2\\2\left(-2\right)-2\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=10,y=-8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -\frac{3}{2} ด้วย y+2

$$x-1=-\frac{3}{2}y-3$$

เพิ่ม \frac{3}{2}y ไปทั้งสองด้าน

$$x-1+\frac{3}{2}y=-3$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$x+\frac{3}{2}y=-3+1$$

เพิ่ม -3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ -2

$$x+\frac{3}{2}y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$x+y=2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+\frac{3}{2}y=-2,x+y=2$$

ลบ x+y=2 จาก x+\frac{3}{2}y=-2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x+\frac{3}{2}y-y=-2-2$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{3}{2}y-y=-2-2$$

เพิ่ม \frac{3y}{2} ไปยัง -y

$$\frac{1}{2}y=-2-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง -2

$$\frac{1}{2}y=-4$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-8$$

ทดแทน -8 สำหรับ y ใน x+y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-8=2$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=-8$$