แก้โจทย์ {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y+3 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

รวม 2x และ -6x เพื่อให้ได้รับ -4x

$$-4x-y-3=2y+2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-4x-y-3-2y=2$$

รวม -y และ -2y เพื่อให้ได้รับ -3y

$$-4x-3y-3=2$$

เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน

$$-4x-3y=2+3$$

เพิ่ม 2 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 5

$$-4x-3y=5$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$5x+y=4x-2$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$5x+y-4x=-2$$

รวม 5x และ -4x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+y=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x-3y=5$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=3y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย 3y+5

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

ทดแทน \frac{-3y-5}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=-2

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

เพิ่ม -\frac{3y}{4} ไปยัง y

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

เพิ่ม \frac{5}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

คูณ -\frac{3}{4} ด้วย -3

$$x=\frac{9-5}{4}$$

เพิ่ม -\frac{5}{4} ไปยัง \frac{9}{4} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y+3 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

รวม 2x และ -6x เพื่อให้ได้รับ -4x

$$-4x-y-3=2y+2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-4x-y-3-2y=2$$

รวม -y และ -2y เพื่อให้ได้รับ -3y

$$-4x-3y-3=2$$

เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน

$$-4x-3y=2+3$$

เพิ่ม 2 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 5

$$-4x-3y=5$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$5x+y=4x-2$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$5x+y-4x=-2$$

รวม 5x และ -4x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+y=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y+3 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

ลบ 6x จากทั้งสองด้าน

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

รวม 2x และ -6x เพื่อให้ได้รับ -4x

$$-4x-y-3=2y+2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-4x-y-3-2y=2$$

รวม -y และ -2y เพื่อให้ได้รับ -3y

$$-4x-3y-3=2$$

เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน

$$-4x-3y=2+3$$

เพิ่ม 2 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 5

$$-4x-3y=5$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$5x+y=4x-2$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$5x+y-4x=-2$$

รวม 5x และ -4x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+y=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

เพื่อทำให้ -4x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -4

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

ลบ -4x-4y=8 จาก -4x-3y=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 4x ตัดพจน์ -4x และ 4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3y+4y=5-8$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 4y

$$y=5-8$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -8

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x+y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-3=-2$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-3$$