แก้โจทย์ {l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย 1-2x

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย 1-y

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y-y^{2} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

พิจารณา \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

ขยาย \left(\sqrt{2}x\right)^{2}

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

ลบ y^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

รวม y^{2} และ -y^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

เพิ่ม 2x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

รวม -2x^{2} และ 2x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$x-y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 16

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 4y^{2}-y+\frac{1}{16} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 16 ด้วย 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

คูณ 16 และ 16 เพื่อรับ 256

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

เพิ่ม -1 และ 256 เพื่อให้ได้รับ 255

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

เพิ่ม 255 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 256

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 16 ด้วย 2y+3

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 32y+48 ด้วย 3-2y และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

เพิ่ม 64y^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

รวม -64y^{2} และ 64y^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$32x+16y+256=144$$

ลบ 256 จากทั้งสองด้าน

$$32x+16y=144-256$$

ลบ 256 จาก 144 เพื่อรับ -112

$$32x+16y=-112$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-y=3$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=y+3$$

ทดแทน y+3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 32x+16y=-112

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

คูณ 32 ด้วย y+3

$$32y+96+16y=-112$$

เพิ่ม 32y ไปยัง 16y

$$48y+96=-112$$

ลบ 96 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$48y=-208$$

หารทั้งสองข้างด้วย 48

$$y=-\frac{13}{3}$$

ทดแทน -\frac{13}{3} สำหรับ y ใน x=y+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -\frac{13}{3}

$$x=-\frac{4}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย 1-2x

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย 1-y

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y-y^{2} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

พิจารณา \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

ขยาย \left(\sqrt{2}x\right)^{2}

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

ลบ y^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

รวม y^{2} และ -y^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

เพิ่ม 2x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

รวม -2x^{2} และ 2x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$x-y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 16

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 4y^{2}-y+\frac{1}{16} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 16 ด้วย 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

คูณ 16 และ 16 เพื่อรับ 256

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

เพิ่ม -1 และ 256 เพื่อให้ได้รับ 255

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

เพิ่ม 255 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 256

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 16 ด้วย 2y+3

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 32y+48 ด้วย 3-2y และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

เพิ่ม 64y^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

รวม -64y^{2} และ 64y^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$32x+16y+256=144$$

ลบ 256 จากทั้งสองด้าน

$$32x+16y=144-256$$

ลบ 256 จาก 144 เพื่อรับ -112

$$32x+16y=-112$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย 1-2x

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย 1-y

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y-y^{2} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

พิจารณา \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

ขยาย \left(\sqrt{2}x\right)^{2}

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

ลบ y^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

รวม y^{2} และ -y^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

เพิ่ม 2x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

รวม -2x^{2} และ 2x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$x-y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 16

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 4y^{2}-y+\frac{1}{16} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 16 ด้วย 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

คูณ 16 และ 16 เพื่อรับ 256

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

เพิ่ม -1 และ 256 เพื่อให้ได้รับ 255

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

เพิ่ม 255 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 256

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 16 ด้วย 2y+3

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 32y+48 ด้วย 3-2y และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

เพิ่ม 64y^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

รวม -64y^{2} และ 64y^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$32x+16y+256=144$$

ลบ 256 จากทั้งสองด้าน

$$32x+16y=144-256$$

ลบ 256 จาก 144 เพื่อรับ -112

$$32x+16y=-112$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

เพื่อทำให้ x และ 32x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 32 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

ลบ 32x+16y=-112 จาก 32x-32y=96 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

เพิ่ม 32x ไปยัง -32x ตัดพจน์ 32x และ -32x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-32y-16y=96+112$$

เพิ่ม -32y ไปยัง -16y

$$-48y=96+112$$

เพิ่ม 96 ไปยัง 112

$$-48y=208$$

หารทั้งสองข้างด้วย -48

$$y=-\frac{13}{3}$$

ทดแทน -\frac{13}{3} สำหรับ y ใน 32x+16y=-112 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

คูณ 16 ด้วย -\frac{13}{3}

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

เพิ่ม \frac{208}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$32x=-\frac{128}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 32

$$x=-\frac{4}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$