แก้โจทย์ {l}{x^2+y^2=3}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 3 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.618033989\text{, }y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989\text{, }y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.618033989$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=3$$

หาค่า x+y=1 สำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=1$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+1$$

ทดแทน -y+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง y^{2}+x^{2}=3

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=3$$

ยกกำลังสอง -y+1

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=3$$

เพิ่ม y^{2} ไปยัง y^{2}

$$2y^{2}-2y+1=3$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y^{2}-2y-2=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1+1\left(-1\right)^{2} แทน a, 1\times 1\left(-1\right)\times 2 แทน b และ -2 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง 1\times 1\left(-1\right)\times 2

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 1+1\left(-1\right)^{2}

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย -2

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 16

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ 20

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\times 2}$$

ตรงข้ามกับ 1\times 1\left(-1\right)\times 2 คือ 2

$$y=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 1+1\left(-1\right)^{2}

$$y=\frac{2±2\sqrt{5}}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{2±2\sqrt{5}}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2 ไปยัง 2\sqrt{5}

$$y=\frac{2\sqrt{5}+2}{4}$$

หาร 2+2\sqrt{5} ด้วย 4

$$y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{2±2\sqrt{5}}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2\sqrt{5} จาก 2

$$y=\frac{2-2\sqrt{5}}{4}$$

หาร 2-2\sqrt{5} ด้วย 4

$$y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ y:\frac{1+\sqrt{5}}{2} และ \frac{1-\sqrt{5}}{2} ทดแทน \frac{1+\sqrt{5}}{2} สำหรับ y ในสมการ x=-y+1 เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1$$

แทนค่า \frac{1-\sqrt{5}}{2} สำหรับ y ในสมการ x=-y+1 และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=-\frac{1-\sqrt{5}}{2}+1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{5}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$