แก้โจทย์ {l}{x=2y}{y=3x-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y } \\ { y = 3 x - 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-10$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-2y=0$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2y$$

ทดแทน 2y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+y=-10

$$-3\times 2y+y=-10$$

คูณ -3 ด้วย 2y

$$-6y+y=-10$$

เพิ่ม -6y ไปยัง y

$$-5y=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=2y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\times 2$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-10$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)\\-\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=-10$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-2y=0,-3x+y=-10$$

เพื่อทำให้ x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+y=-10$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3x+6y=0,-3x+y=-10$$

ลบ -3x+y=-10 จาก -3x+6y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+3x+6y-y=10$$

เพิ่ม -3x ไปยัง 3x ตัดพจน์ -3x และ 3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-y=10$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -y

$$5y=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน -3x+y=-10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x+2=-10$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=2$$