แก้โจทย์ {l}{x=2y+1}{x=3y-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y + 1 } \\ { x = 3 y - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=11$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-3y=-4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-2y=1,x-3y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-2y=1$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2y+1$$

ทดแทน 2y+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-3y=-4

$$2y+1-3y=-4$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -3y

$$-y+1=-4$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=2y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\times 5+1$$

คูณ 2 ด้วย 5

$$x=10+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 10

$$x=11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-3y=-4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-2y=1,x-3y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-2\left(-4\right)\\1-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=11,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-3y=-4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-2y=1,x-3y=-4$$

ลบ x-3y=-4 จาก x-2y=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x-2y+3y=1+4$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y+3y=1+4$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 3y

$$y=1+4$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 4

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x-3y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-3\times 5=-4$$

คูณ -3 ด้วย 5

$$x-15=-4$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=11$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11,y=5$$