แก้โจทย์ {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{3}{4}y จากทั้งสองด้าน

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{8}{9}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

เพิ่ม \frac{3y}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{3}{4}y$$

ทดแทน \frac{3y}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -\frac{8}{9}x+y=-4

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

คูณ -\frac{8}{9} ด้วย \frac{3y}{4}

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

เพิ่ม -\frac{2y}{3} ไปยัง y

$$\frac{1}{3}y=-4$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=-12$$

ทดแทน -12 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{4}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

คูณ \frac{3}{4} ด้วย -12

$$x=-9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-9,y=-12$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{3}{4}y จากทั้งสองด้าน

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{8}{9}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-9,y=-12$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{3}{4}y จากทั้งสองด้าน

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{8}{9}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

เพื่อทำให้ x และ -\frac{8x}{9} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -\frac{8}{9} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

ลบ -\frac{8}{9}x+y=-4 จาก -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

เพิ่ม -\frac{8x}{9} ไปยัง \frac{8x}{9} ตัดพจน์ -\frac{8x}{9} และ \frac{8x}{9} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

เพิ่ม \frac{2y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{1}{3}y=4$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-12$$

ทดแทน -12 สำหรับ y ใน -\frac{8}{9}x+y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{8}{9}x=8$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{9} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-9,y=-12$$