แก้โจทย์ {l}{x+y=6}{2x-2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { 2 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=6,2x-2y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=6$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+6$$

ทดแทน -y+6 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-2y=4

$$2\left(-y+6\right)-2y=4$$

คูณ 2 ด้วย -y+6

$$-2y+12-2y=4$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -2y

$$-4y+12=4$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4y=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-y+6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2+6$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -2

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=6,2x-2y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 4\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=6,2x-2y=4$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2y=2\times 6,2x-2y=4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+2y=12,2x-2y=4$$

ลบ 2x-2y=4 จาก 2x+2y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+2y+2y=12-4$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y+2y=12-4$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 2y

$$4y=12-4$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -4

$$4y=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 2x-2y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-2\times 2=4$$

คูณ -2 ด้วย 2

$$2x-4=4$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=2$$