แก้โจทย์ {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=45$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+45$$

ทดแทน -y+45 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 18x+120y=6000

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

คูณ 18 ด้วย -y+45

$$-18y+810+120y=6000$$

เพิ่ม -18y ไปยัง 120y

$$102y+810=6000$$

ลบ 810 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$102y=5190$$

หารทั้งสองข้างด้วย 102

$$y=\frac{865}{17}$$

ทดแทน \frac{865}{17} สำหรับ y ใน x=-y+45 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

เพิ่ม 45 ไปยัง -\frac{865}{17}

$$x=-\frac{100}{17}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

เพื่อทำให้ x และ 18x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 18 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

ลบ 18x+120y=6000 จาก 18x+18y=810 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

เพิ่ม 18x ไปยัง -18x ตัดพจน์ 18x และ -18x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$18y-120y=810-6000$$

เพิ่ม 18y ไปยัง -120y

$$-102y=810-6000$$

เพิ่ม 810 ไปยัง -6000

$$-102y=-5190$$

หารทั้งสองข้างด้วย -102

$$y=\frac{865}{17}$$

ทดแทน \frac{865}{17} สำหรับ y ใน 18x+120y=6000 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

คูณ 120 ด้วย \frac{865}{17}

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

ลบ \frac{103800}{17} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$x=-\frac{100}{17}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$