แก้โจทย์ {l}{x+y=30}{20x+25y=690}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 690 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=12$$

$$y=18$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=30,20x+25y=690$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=30$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+30$$

ทดแทน -y+30 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 20x+25y=690

$$20\left(-y+30\right)+25y=690$$

คูณ 20 ด้วย -y+30

$$-20y+600+25y=690$$

เพิ่ม -20y ไปยัง 25y

$$5y+600=690$$

ลบ 600 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=90$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=18$$

ทดแทน 18 สำหรับ y ใน x=-y+30 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-18+30$$

เพิ่ม 30 ไปยัง -18

$$x=12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=12,y=18$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=30,20x+25y=690$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 690\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 690\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=12,y=18$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=30,20x+25y=690$$

เพื่อทำให้ x และ 20x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 20 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=690$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20x+20y=600,20x+25y=690$$

ลบ 20x+25y=690 จาก 20x+20y=600 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$20x-20x+20y-25y=600-690$$

เพิ่ม 20x ไปยัง -20x ตัดพจน์ 20x และ -20x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$20y-25y=600-690$$

เพิ่ม 20y ไปยัง -25y

$$-5y=600-690$$

เพิ่ม 600 ไปยัง -690

$$-5y=-90$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=18$$

ทดแทน 18 สำหรับ y ใน 20x+25y=690 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$20x+25\times 18=690$$

คูณ 25 ด้วย 18

$$20x+450=690$$

ลบ 450 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$20x=240$$

หารทั้งสองข้างด้วย 20

$$x=12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=12,y=18$$