แก้โจทย์ {l}{x+y=220}{3/5x=38y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 3 } { 5 } x = 38 y - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{41775}{193} = 216\frac{87}{193} \approx 216.450777202$$

$$y = \frac{685}{193} = 3\frac{106}{193} \approx 3.549222798$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 38y จากทั้งสองด้าน

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=220$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+220$$

ทดแทน -y+220 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{3}{5}x-38y=-5

$$\frac{3}{5}\left(-y+220\right)-38y=-5$$

คูณ \frac{3}{5} ด้วย -y+220

$$-\frac{3}{5}y+132-38y=-5$$

เพิ่ม -\frac{3y}{5} ไปยัง -38y

$$-\frac{193}{5}y+132=-5$$

ลบ 132 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{193}{5}y=-137$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{193}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{685}{193}$$

ทดแทน \frac{685}{193} สำหรับ y ใน x=-y+220 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{685}{193}+220$$

เพิ่ม 220 ไปยัง -\frac{685}{193}

$$x=\frac{41775}{193}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 38y จากทั้งสองด้าน

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{38}{-38-\frac{3}{5}}&-\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\\-\frac{\frac{3}{5}}{-38-\frac{3}{5}}&\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}&\frac{5}{193}\\\frac{3}{193}&-\frac{5}{193}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}\times 220+\frac{5}{193}\left(-5\right)\\\frac{3}{193}\times 220-\frac{5}{193}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41775}{193}\\\frac{685}{193}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 38y จากทั้งสองด้าน

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

เพื่อทำให้ x และ \frac{3x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{3}{5} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=\frac{3}{5}\times 220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

ลบ \frac{3}{5}x-38y=-5 จาก \frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

เพิ่ม \frac{3x}{5} ไปยัง -\frac{3x}{5} ตัดพจน์ \frac{3x}{5} และ -\frac{3x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

เพิ่ม \frac{3y}{5} ไปยัง 38y

$$\frac{193}{5}y=132+5$$

เพิ่ม 132 ไปยัง 5

$$\frac{193}{5}y=137$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{193}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{685}{193}$$

ทดแทน \frac{685}{193} สำหรับ y ใน \frac{3}{5}x-38y=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{3}{5}x-38\times \frac{685}{193}=-5$$

คูณ -38 ด้วย \frac{685}{193}

$$\frac{3}{5}x-\frac{26030}{193}=-5$$

เพิ่ม \frac{26030}{193} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{5}x=\frac{25065}{193}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{41775}{193}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$