แก้โจทย์ {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=100$$

$$y=120$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{3}{8}y จากทั้งสองด้าน

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=220$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+220$$

ทดแทน -y+220 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

คูณ \frac{2}{5} ด้วย -y+220

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

เพิ่ม -\frac{2y}{5} ไปยัง -\frac{3y}{8}

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

ลบ 88 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{31}{40} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=120$$

ทดแทน 120 สำหรับ y ใน x=-y+220 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-120+220$$

เพิ่ม 220 ไปยัง -120

$$x=100$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=100,y=120$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{3}{8}y จากทั้งสองด้าน

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=100,y=120$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{3}{8}y จากทั้งสองด้าน

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

เพื่อทำให้ x และ \frac{2x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{2}{5} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

ลบ \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 จาก \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

เพิ่ม \frac{2x}{5} ไปยัง -\frac{2x}{5} ตัดพจน์ \frac{2x}{5} และ -\frac{2x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

เพิ่ม \frac{2y}{5} ไปยัง \frac{3y}{8}

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

เพิ่ม 88 ไปยัง 5

$$\frac{31}{40}y=93$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{31}{40} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=120$$

ทดแทน 120 สำหรับ y ใน \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

คูณ -\frac{3}{8} ด้วย 120

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

เพิ่ม 45 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{2}{5}x=40$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{2}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=100$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=100,y=120$$