แก้โจทย์ {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=96$$

$$y=108$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{3}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=204$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+204$$

ทดแทน -y+204 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

คูณ -\frac{3}{4} ด้วย -y+204

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

เพิ่ม \frac{3y}{4} ไปยัง \frac{2y}{3}

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

เพิ่ม 153 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{17}{12}y=153$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{17}{12} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=108$$

ทดแทน 108 สำหรับ y ใน x=-y+204 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-108+204$$

เพิ่ม 204 ไปยัง -108

$$x=96$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=96,y=108$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{3}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=96,y=108$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{3}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

เพื่อทำให้ x และ -\frac{3x}{4} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -\frac{3}{4} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

ลบ -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 จาก -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

เพิ่ม -\frac{3x}{4} ไปยัง \frac{3x}{4} ตัดพจน์ -\frac{3x}{4} และ \frac{3x}{4} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

เพิ่ม -\frac{3y}{4} ไปยัง -\frac{2y}{3}

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{17}{12} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=108$$

ทดแทน 108 สำหรับ y ใน -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย 108

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

ลบ 72 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=96$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=96,y=108$$