แก้โจทย์ {l}{x+y=16}{x^2+y^2=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 16 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 64 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$x=8+4\sqrt{2}i\approx 8+5.656854249i\text{, }y=-4\sqrt{2}i+8\approx 8-5.656854249i$$

$$x=-4\sqrt{2}i+8\approx 8-5.656854249i\text{, }y=8+4\sqrt{2}i\approx 8+5.656854249i$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

หาค่า x+y=16 สำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=16$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+16$$

ทดแทน -y+16 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง y^{2}+x^{2}=64

$$y^{2}+\left(-y+16\right)^{2}=64$$

ยกกำลังสอง -y+16

$$y^{2}+y^{2}-32y+256=64$$

เพิ่ม y^{2} ไปยัง y^{2}

$$2y^{2}-32y+256=64$$

ลบ 64 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y^{2}-32y+192=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1+1\left(-1\right)^{2} แทน a, 1\times 16\left(-1\right)\times 2 แทน b และ 192 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 2\times 192}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง 1\times 16\left(-1\right)\times 2

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 2\times 192}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 1+1\left(-1\right)^{2}

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-8\times 192}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย 192

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1536}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 1024 ไปยัง -1536

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{-512}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ -512

$$y=\frac{-\left(-32\right)±16\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

ตรงข้ามกับ 1\times 16\left(-1\right)\times 2 คือ 32

$$y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 1+1\left(-1\right)^{2}

$$y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 32 ไปยัง 16i\sqrt{2}

$$y=\frac{32+2^{\frac{9}{2}}i}{4}$$

หาร 32+i\times 2^{\frac{9}{2}} ด้วย 4

$$y=8+2^{\frac{5}{2}}i$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 16i\sqrt{2} จาก 32

$$y=\frac{-2^{\frac{9}{2}}i+32}{4}$$

หาร 32-i\times 2^{\frac{9}{2}} ด้วย 4

$$y=-2^{\frac{5}{2}}i+8$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ y:8+i\times 2^{\frac{5}{2}} และ 8-i\times 2^{\frac{5}{2}} ทดแทน 8+i\times 2^{\frac{5}{2}} สำหรับ y ในสมการ x=-y+16 เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=-\left(8+2^{\frac{5}{2}}i\right)+16$$

แทนค่า 8-i\times 2^{\frac{5}{2}} สำหรับ y ในสมการ x=-y+16 และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=-\left(-2^{\frac{5}{2}}i+8\right)+16$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\left(8+2^{\frac{5}{2}}i\right)+16,y=8+2^{\frac{5}{2}}i\text{ or }x=-\left(-2^{\frac{5}{2}}i+8\right)+16,y=-2^{\frac{5}{2}}i+8$$