แก้โจทย์ {l}{x+y=140}{x/y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { \frac { x } { y } = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{245}{2} = 122\frac{1}{2} = 122.5$$

$$y = \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} = 17.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย y

$$x=7y$$

ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$x-7y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=140,x-7y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=140$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+140$$

ทดแทน -y+140 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-7y=0

$$-y+140-7y=0$$

เพิ่ม -y ไปยัง -7y

$$-8y+140=0$$

ลบ 140 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-8y=-140$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$y=\frac{35}{2}$$

ทดแทน \frac{35}{2} สำหรับ y ใน x=-y+140 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{35}{2}+140$$

เพิ่ม 140 ไปยัง -\frac{35}{2}

$$x=\frac{245}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย y

$$x=7y$$

ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$x-7y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=140,x-7y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-1}&-\frac{1}{-7-1}\\-\frac{1}{-7-1}&\frac{1}{-7-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 140\\\frac{1}{8}\times 140\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{245}{2}\\\frac{35}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย y

$$x=7y$$

ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$x-7y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=140,x-7y=0$$

ลบ x-7y=0 จาก x+y=140 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x+y+7y=140$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y+7y=140$$

เพิ่ม y ไปยัง 7y

$$8y=140$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=\frac{35}{2}$$

ทดแทน \frac{35}{2} สำหรับ y ใน x-7y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-7\times \frac{35}{2}=0$$

คูณ -7 ด้วย \frac{35}{2}

$$x-\frac{245}{2}=0$$

เพิ่ม \frac{245}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{245}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$