แก้โจทย์ {l}{x+y=0}{x+10y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 0 } \\ { x + 10 y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9} \approx -1.111111111$$

$$y = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9} \approx 1.111111111$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=0,x+10y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=0$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y$$

ทดแทน -y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+10y=10

$$-y+10y=10$$

เพิ่ม -y ไปยัง 10y

$$9y=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=\frac{10}{9}$$

ทดแทน \frac{10}{9} สำหรับ y ใน x=-y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{10}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{10}{9},y=\frac{10}{9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=0,x+10y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-1}&-\frac{1}{10-1}\\-\frac{1}{10-1}&\frac{1}{10-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 10\\\frac{1}{9}\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{9}\\\frac{10}{9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{10}{9},y=\frac{10}{9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=0,x+10y=10$$

ลบ x+10y=10 จาก x+y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x+y-10y=-10$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y-10y=-10$$

เพิ่ม y ไปยัง -10y

$$-9y=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=\frac{10}{9}$$

ทดแทน \frac{10}{9} สำหรับ y ใน x+10y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+10\times \frac{10}{9}=10$$

คูณ 10 ด้วย \frac{10}{9}

$$x+\frac{100}{9}=10$$

ลบ \frac{100}{9} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{10}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{10}{9},y=\frac{10}{9}$$