แก้โจทย์ {l}{x+y=-1}{4x-2y=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - 1 } \\ { 4 x - 2 y = - 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=-1$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y-1$$

ทดแทน -y-1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-2y=-16

$$4\left(-y-1\right)-2y=-16$$

คูณ 4 ด้วย -y-1

$$-4y-4-2y=-16$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -2y

$$-6y-4=-16$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-6y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-y-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง -2

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4}&-\frac{1}{-2-4}\\-\frac{4}{-2-4}&\frac{1}{-2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\\\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

เพื่อทำให้ x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$4x+4y=4\left(-1\right),4x-2y=-16$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4x+4y=-4,4x-2y=-16$$

ลบ 4x-2y=-16 จาก 4x+4y=-4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+4y+2y=-4+16$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y+2y=-4+16$$

เพิ่ม 4y ไปยัง 2y

$$6y=-4+16$$

เพิ่ม -4 ไปยัง 16

$$6y=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน 4x-2y=-16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-2\times 2=-16$$

คูณ -2 ด้วย 2

$$4x-4=-16$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=2$$