แก้โจทย์ {l}{x+my=a}{x-ny=b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+my=a$$

ลบ my จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\left(-m\right)y+a$$

ทดแทน a-my สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+\left(-n\right)y=b

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

เพิ่ม -my ไปยัง -ny

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

ลบ a จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

หารทั้งสองข้างด้วย -m-n

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

ทดแทน -\frac{b-a}{m+n} สำหรับ y ใน x=\left(-m\right)y+a เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

คูณ -m ด้วย -\frac{b-a}{m+n}

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

เพิ่ม a ไปยัง \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

ลบ x+\left(-n\right)y=b จาก x+my=a โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x+my+ny=a-b$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$my+ny=a-b$$

เพิ่ม my ไปยัง ny

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

หารทั้งสองข้างด้วย m+n

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

ทดแทน \frac{a-b}{m+n} สำหรับ y ใน x+\left(-n\right)y=b เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

คูณ -n ด้วย \frac{a-b}{m+n}

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

เพิ่ม \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$