แก้โจทย์ {l}{x+4y=-1}{2x-4y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = - 1 } \\ { 2 x - 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+4y=-1$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-4y-1$$

ทดแทน -4y-1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-4y=4

$$2\left(-4y-1\right)-4y=4$$

คูณ 2 ด้วย -4y-1

$$-8y-2-4y=4$$

เพิ่ม -8y ไปยัง -4y

$$-12y-2=4$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-12y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12

$$y=-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{1}{2} สำหรับ y ใน x=-4y-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)-1$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{1}{2}

$$x=2-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง 2

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-4\times 2}&-\frac{4}{-4-4\times 2}\\-\frac{2}{-4-4\times 2}&\frac{1}{-4-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{12}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\times 4y=2\left(-1\right),2x-4y=4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+8y=-2,2x-4y=4$$

ลบ 2x-4y=4 จาก 2x+8y=-2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+8y+4y=-2-4$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y+4y=-2-4$$

เพิ่ม 8y ไปยัง 4y

$$12y=-2-4$$

เพิ่ม -2 ไปยัง -4

$$12y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$y=-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{1}{2} สำหรับ y ใน 2x-4y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-4\left(-\frac{1}{2}\right)=4$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{1}{2}

$$2x+2=4$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$