แก้โจทย์ {l}{x+2y=9}{3x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 9 } \\ { 3 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y = \frac{26}{7} = 3\frac{5}{7} \approx 3.714285714$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=9,3x-y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=9$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y+9$$

ทดแทน -2y+9 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-y=1

$$3\left(-2y+9\right)-y=1$$

คูณ 3 ด้วย -2y+9

$$-6y+27-y=1$$

เพิ่ม -6y ไปยัง -y

$$-7y+27=1$$

ลบ 27 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7y=-26$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=\frac{26}{7}$$

ทดแทน \frac{26}{7} สำหรับ y ใน x=-2y+9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times \frac{26}{7}+9$$

คูณ -2 ด้วย \frac{26}{7}

$$x=-\frac{52}{7}+9$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -\frac{52}{7}

$$x=\frac{11}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{26}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=9,3x-y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 9+\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{26}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=9,3x-y=1$$

เพื่อทำให้ x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$3x+3\times 2y=3\times 9,3x-y=1$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x+6y=27,3x-y=1$$

ลบ 3x-y=1 จาก 3x+6y=27 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x+6y+y=27-1$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y+y=27-1$$

เพิ่ม 6y ไปยัง y

$$7y=27-1$$

เพิ่ม 27 ไปยัง -1

$$7y=26$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=\frac{26}{7}$$

ทดแทน \frac{26}{7} สำหรับ y ใน 3x-y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-\frac{26}{7}=1$$

เพิ่ม \frac{26}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{33}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{11}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{26}{7}$$