แก้โจทย์ {l}{x+2y=7}{y-x=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { y - x = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=7,-x+y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=7$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y+7$$

ทดแทน -2y+7 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+y=1

$$-\left(-2y+7\right)+y=1$$

คูณ -1 ด้วย -2y+7

$$2y-7+y=1$$

เพิ่ม 2y ไปยัง y

$$3y-7=1$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=\frac{8}{3}$$

ทดแทน \frac{8}{3} สำหรับ y ใน x=-2y+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times \frac{8}{3}+7$$

คูณ -2 ด้วย \frac{8}{3}

$$x=-\frac{16}{3}+7$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -\frac{16}{3}

$$x=\frac{5}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=7,-x+y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 7-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\times 7+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=7,-x+y=1$$

เพื่อทำให้ x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-x-2y=-7,-x+y=1$$

ลบ -x+y=1 จาก -x-2y=-7 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+x-2y-y=-7-1$$

เพิ่ม -x ไปยัง x ตัดพจน์ -x และ x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y-y=-7-1$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -y

$$-3y=-7-1$$

เพิ่ม -7 ไปยัง -1

$$-3y=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=\frac{8}{3}$$

ทดแทน \frac{8}{3} สำหรับ y ใน -x+y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+\frac{8}{3}=1$$

ลบ \frac{8}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-\frac{5}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=\frac{5}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{8}{3}$$