แก้โจทย์ {l}{x+5/3y=7}{2x-5y=-11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + \frac { 5 } { 3 } y = 7 } \\ { 2 x - 5 y = - 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+\frac{5}{3}y=7,2x-5y=-11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+\frac{5}{3}y=7$$

ลบ \frac{5y}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

ทดแทน -\frac{5y}{3}+7 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-5y=-11

$$2\left(-\frac{5}{3}y+7\right)-5y=-11$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{5y}{3}+7

$$-\frac{10}{3}y+14-5y=-11$$

เพิ่ม -\frac{10y}{3} ไปยัง -5y

$$-\frac{25}{3}y+14=-11$$

ลบ 14 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{25}{3}y=-25$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{25}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{3}y+7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{3}\times 3+7$$

คูณ -\frac{5}{3} ด้วย 3

$$x=-5+7$$

เพิ่ม 7 ไปยัง -5

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+\frac{5}{3}y=7,2x-5y=-11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{5}{3}\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&\frac{5}{3}\\2&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{5}{3}\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{5}{3}\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{5}{3}\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{5}{3}\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{5}{3}\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\frac{5}{3}\times 2}&-\frac{\frac{5}{3}}{-5-\frac{5}{3}\times 2}\\-\frac{2}{-5-\frac{5}{3}\times 2}&\frac{1}{-5-\frac{5}{3}\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{6}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 7+\frac{1}{5}\left(-11\right)\\\frac{6}{25}\times 7-\frac{3}{25}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+\frac{5}{3}y=7,2x-5y=-11$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2\times \frac{5}{3}y=2\times 7,2x-5y=-11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+\frac{10}{3}y=14,2x-5y=-11$$

ลบ 2x-5y=-11 จาก 2x+\frac{10}{3}y=14 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+\frac{10}{3}y+5y=14+11$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{10}{3}y+5y=14+11$$

เพิ่ม \frac{10y}{3} ไปยัง 5y

$$\frac{25}{3}y=14+11$$

เพิ่ม 14 ไปยัง 11

$$\frac{25}{3}y=25$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{25}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 2x-5y=-11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-5\times 3=-11$$

คูณ -5 ด้วย 3

$$2x-15=-11$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=3$$