แก้โจทย์ {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

เพิ่ม by ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$ax=by-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย a

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

คูณ \frac{1}{a} ด้วย by-8

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

ทดแทน \frac{by-8}{a} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง bx+ay+1=0

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

คูณ b ด้วย \frac{by-8}{a}

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

เพิ่ม \frac{b^{2}y}{a} ไปยัง ay

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

เพิ่ม -\frac{8b}{a} ไปยัง 1

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

ลบ \frac{a-8b}{a} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย a+\frac{b^{2}}{a}

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ทดแทน \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} สำหรับ y ใน x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

คูณ \frac{b}{a} ด้วย \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

เพิ่ม -\frac{8}{a} ไปยัง \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

เพื่อทำให้ ax และ bx เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย b และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย a

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

ลบ abx+a^{2}y+a=0 จาก abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

เพิ่ม bax ไปยัง -bax ตัดพจน์ bax และ -bax ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

เพิ่ม -b^{2}y ไปยัง -a^{2}y

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

ลบ 8b-a จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

หารทั้งสองข้างด้วย -b^{2}-a^{2}

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

ทดแทน -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} สำหรับ y ใน bx+ay+1=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

คูณ a ด้วย -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

เพิ่ม -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ไปยัง 1

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

ลบ \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

หารทั้งสองข้างด้วย b

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$