แก้โจทย์ {l}{ax+by=e}{cx+dy=f}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = e } \\ { c x + d y = f } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$ax+by=e$$

ลบ by จากทั้งสองข้างของสมการ

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

หารทั้งสองข้างด้วย a

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

คูณ \frac{1}{a} ด้วย -by+e

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

ทดแทน \frac{-by+e}{a} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง cx+dy=f

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

คูณ c ด้วย \frac{-by+e}{a}

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

เพิ่ม -\frac{cby}{a} ไปยัง dy

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

ลบ \frac{ce}{a} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

หารทั้งสองข้างด้วย d-\frac{cb}{a}

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

ทดแทน \frac{fa-ce}{da-cb} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

คูณ -\frac{b}{a} ด้วย \frac{fa-ce}{da-cb}

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

เพิ่ม \frac{e}{a} ไปยัง -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

เพื่อทำให้ ax และ cx เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย c และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย a

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

ลบ acx+ady=af จาก acx+bcy=ec โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

เพิ่ม cax ไปยัง -cax ตัดพจน์ cax และ -cax ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

เพิ่ม cby ไปยัง -ady

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

หารทั้งสองข้างด้วย cb-ad

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

ทดแทน \frac{ce-af}{cb-ad} สำหรับ y ใน cx+dy=f เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

คูณ d ด้วย \frac{ce-af}{cb-ad}

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

ลบ \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

หารทั้งสองข้างด้วย c

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$