แก้โจทย์ {l}{a=x+y}{9=x^2+y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a = x + y } \\ { 9 = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$x+y=a$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$x^{2}+y^{2}=9$$

หาค่า x+y=a สำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=a$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+a$$

ทดแทน -y+a สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง y^{2}+x^{2}=9

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

ยกกำลังสอง -y+a

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

เพิ่ม y^{2} ไปยัง y^{2}

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1+1\left(-1\right)^{2} แทน a, 1\left(-1\right)\times 2a แทน b และ a^{2}-9 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง 1\left(-1\right)\times 2a

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 1+1\left(-1\right)^{2}

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย a^{2}-9

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 4a^{2} ไปยัง -8a^{2}+72

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ -4a^{2}+72

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 1+1\left(-1\right)^{2}

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2a ไปยัง 2\sqrt{-a^{2}+18}

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

หาร 2a+2\sqrt{-a^{2}+18} ด้วย 4

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2\sqrt{-a^{2}+18} จาก 2a

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

หาร 2a-2\sqrt{-a^{2}+18} ด้วย 4

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ y:\frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} และ \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2} ทดแทน \frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} สำหรับ y ในสมการ x=-y+a เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

แทนค่า \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2} สำหรับ y ในสมการ x=-y+a และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$x+y=a$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$x^{2}+y^{2}=9$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

หาค่า x+y=a สำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=a$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+a$$

ทดแทน -y+a สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง y^{2}+x^{2}=9

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

ยกกำลังสอง -y+a

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

เพิ่ม y^{2} ไปยัง y^{2}

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1+1\left(-1\right)^{2} แทน a, 1\left(-1\right)\times 2a แทน b และ a^{2}-9 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

ยกกำลังสอง 1\left(-1\right)\times 2a

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -4 ด้วย 1+1\left(-1\right)^{2}

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

คูณ -8 ด้วย a^{2}-9

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

เพิ่ม 4a^{2} ไปยัง -8a^{2}+72

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

หารากที่สองของ -4a^{2}+72

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

คูณ 2 ด้วย 1+1\left(-1\right)^{2}

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2a ไปยัง 2\sqrt{-a^{2}+18}

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

หาร 2a+2\sqrt{-a^{2}+18} ด้วย 4

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2\sqrt{-a^{2}+18} จาก 2a

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

หาร 2a-2\sqrt{-a^{2}+18} ด้วย 4

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ y:\frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} และ \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2} ทดแทน \frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} สำหรับ y ในสมการ x=-y+a เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

แทนค่า \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2} สำหรับ y ในสมการ x=-y+a และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$