แก้โจทย์ {l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x+2y=62$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=-2y+62$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย -2y+62

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

ทดแทน \frac{-2y+62}{9} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+4y=36

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-2y+62}{9}

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

เพิ่ม -\frac{8y}{9} ไปยัง 4y

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

ลบ \frac{248}{9} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{28}{9} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{19}{7}$$

ทดแทน \frac{19}{7} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

คูณ -\frac{2}{9} ครั้ง \frac{19}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

เพิ่ม \frac{62}{9} ไปยัง -\frac{38}{63} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{44}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

เพื่อทำให้ 9x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 9

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

ลบ 36x+36y=324 จาก 36x+8y=248 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

เพิ่ม 36x ไปยัง -36x ตัดพจน์ 36x และ -36x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y-36y=248-324$$

เพิ่ม 8y ไปยัง -36y

$$-28y=248-324$$

เพิ่ม 248 ไปยัง -324

$$-28y=-76$$

หารทั้งสองข้างด้วย -28

$$y=\frac{19}{7}$$

ทดแทน \frac{19}{7} สำหรับ y ใน 4x+4y=36 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

คูณ 4 ด้วย \frac{19}{7}

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

ลบ \frac{76}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{176}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{44}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$