แก้โจทย์ {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m=1$$

$$n=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9m-13n=22$$

เพิ่ม 13n ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9m=13n+22$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

คูณ \frac{1}{9} ด้วย 13n+22

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

ทดแทน \frac{13n+22}{9} สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง 2m+3n=-1

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

คูณ 2 ด้วย \frac{13n+22}{9}

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

เพิ่ม \frac{26n}{9} ไปยัง 3n

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

ลบ \frac{44}{9} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{53}{9} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$n=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ n ใน m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

คูณ \frac{13}{9} ด้วย -1

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

เพิ่ม \frac{22}{9} ไปยัง -\frac{13}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$m=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=1,n=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=1,n=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

เพื่อทำให้ 9m และ 2m เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 9

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

ลบ 18m+27n=-9 จาก 18m-26n=44 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

เพิ่ม 18m ไปยัง -18m ตัดพจน์ 18m และ -18m ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-26n-27n=44+9$$

เพิ่ม -26n ไปยัง -27n

$$-53n=44+9$$

เพิ่ม 44 ไปยัง 9

$$-53n=53$$

หารทั้งสองข้างด้วย -53

$$n=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ n ใน 2m+3n=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

คูณ 3 ด้วย -1

$$2m-3=-1$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2m=2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$m=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=1,n=-1$$