แก้โจทย์ {l}{8x-5=7y-9}{6x=3y+6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 5 = 7 y - 9 } \\ { 6 x = 3 y + 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$8x-5-7y=-9$$

เพิ่ม 5 ไปทั้งสองด้าน

$$8x-7y=-9+5$$

เพิ่ม -9 และ 5 เพื่อให้ได้รับ -4

$$8x-7y=-4$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$6x-3y=6$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-7y=-4$$

เพิ่ม 7y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=7y-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{8}\left(7y-4\right)$$

คูณ \frac{1}{8} ด้วย 7y-4

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{7y}{8}-\frac{1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x-3y=6

$$6\left(\frac{7}{8}y-\frac{1}{2}\right)-3y=6$$

คูณ 6 ด้วย \frac{7y}{8}-\frac{1}{2}

$$\frac{21}{4}y-3-3y=6$$

เพิ่ม \frac{21y}{4} ไปยัง -3y

$$\frac{9}{4}y-3=6$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{9}{4}y=9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=\frac{7}{8}y-\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{8}\times 4-\frac{1}{2}$$

คูณ \frac{7}{8} ด้วย 4

$$x=\frac{7-1}{2}$$

เพิ่ม -\frac{1}{2} ไปยัง \frac{7}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$8x-5-7y=-9$$

เพิ่ม 5 ไปทั้งสองด้าน

$$8x-7y=-9+5$$

เพิ่ม -9 และ 5 เพื่อให้ได้รับ -4

$$8x-7y=-4$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$6x-3y=6$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{7}{18}\\-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{7}{18}\times 6\\-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 7y จากทั้งสองด้าน

$$8x-5-7y=-9$$

เพิ่ม 5 ไปทั้งสองด้าน

$$8x-7y=-9+5$$

เพิ่ม -9 และ 5 เพื่อให้ได้รับ -4

$$8x-7y=-4$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$6x-3y=6$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

เพื่อทำให้ 8x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 8

$$6\times 8x+6\left(-7\right)y=6\left(-4\right),8\times 6x+8\left(-3\right)y=8\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$48x-42y=-24,48x-24y=48$$

ลบ 48x-24y=48 จาก 48x-42y=-24 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$48x-48x-42y+24y=-24-48$$

เพิ่ม 48x ไปยัง -48x ตัดพจน์ 48x และ -48x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-42y+24y=-24-48$$

เพิ่ม -42y ไปยัง 24y

$$-18y=-24-48$$

เพิ่ม -24 ไปยัง -48

$$-18y=-72$$

หารทั้งสองข้างด้วย -18

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 6x-3y=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x-3\times 4=6$$

คูณ -3 ด้วย 4

$$6x-12=6$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=4$$